在時下熱門影片《流浪地球2》描繪的“流浪地球計劃”中，一個關鍵的節點是借助木星來讓地球加速到足以離開太陽系。1月27日，《張朝陽的物理課》第一百一十八期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽就這個話題，為廣大網友帶來了一節別開生面的物理課。課上張朝陽首先回顧了上一次直播課中關于洛希極限的討論，并指出在地月系統靠近的過程中，地球強大的引力作用會顯著改變月球的幾何形狀，從而不能再把月球看作剛體球，而應當討論作為流體的月球和對應的洛希極限，月球實際解體的位置會比剛體模型的情況更遠。隨后他通過角動量守恒定理和能量守恒定律，化簡了行星運動的軌道方程，并得到了方程的解。最后他講解了引力彈弓的物理原理，并討論了通過引力彈弓來加速的條件。

引力彈弓的應用實例：旅行者號

引力彈弓并非是科幻電影中的奇妙暢想，事實上這是一項早已實現，而且在航天事業中相當重要的技術。早在20世紀初期，就有蘇聯科學家提出，對于行星間的航行，可以利用行星衛星的萬有引力來實現對航天器的速度控制。到了1959年，蘇聯航天器月球三號首次應用了這項技術。而最為知名的，當屬1977年美國航空航天局(NASA)的旅行者計劃。當時在美國航空航天局噴氣推進實驗室(NASA，JPL)工作的Gary Flandro發現了太陽系幾個氣體巨行星(木星、土星、天王星和海王星)的罕見排列，這一發現極大地推進了旅行者號的任務進程。在該任務中，共有兩架航天器旅行者1號和旅行者2號被送出了地球，通過精心設計的軌道，它們造訪了太陽系中的四顆氣體巨行星，并借用引力彈弓加速來擺脫太陽的引力束縛，前往神秘的星際空間。直到今天，在旅行者們發射后的45年后，它們已經離開了太陽系，但仍然保留著部分機能。至此文撰寫時，旅行者1號仍是人類第一個離開太陽系的飛行器，在距離太陽150.02天文單位的地方，它是距離地球最遙遠的人造物體，向著蛇夫座方向前進。

在每架旅行者飛船上，都攜帶著一張銅質磁碟唱片，包含了55種人類語言錄制的問候語和音樂，試圖向可能的“外星人”傳達來自人類的友好問候。唱片也記載著地球自然界的聲音，能夠代表人類當時知識水平、技術信息和人類的形象。當時的人們把自己文明的代表刻印其上，讓旅行者們帶往太陽系以外的地方。也許在未來，人類文明消失于地球，這些唱片仍默默記錄著人類在這個宇宙留下的痕跡。

行星的圓軌道運動

張朝陽以行星圍繞太陽的圓周運動作為熱身。在理想情況下，行星們僅受到太陽的萬有引力做勻速圓周運動，其向心力完全由引力提供。因此按照牛頓第二定律與萬有引力定律，立即可以寫出

方程中m為行星質量，M為太陽質量，v代表行星做勻速圓周運動的線速度，而r代表行星的軌道半徑。我們這里將行星視作質點。求解方程立即給出

這個結果告訴我們行星的線速度反比于到太陽距離的平方根，與之對應的，我們有行星的角速度：

它隨著距離衰減得比線速度更快。我們也感興趣于行星相對太陽的角動量大小，注意在勻速圓周運動中，速度矢量時刻和太陽與行星的連線垂直，因此有

可見它正比于距離的平方根。定性地，軌道半徑越大，角動量就也越大。之前我們介紹月球在地球上引起的潮汐和地月系統角動量傳遞時就曾討論過，這個特性會使得月球逐漸遠離地球。

普遍的行星軌道

接下來開始討論普遍的行星運動。在這里我們選擇柱坐標系來進行討論。作為簡化，我們考慮太陽質量遠遠大于行星的情況。太陽固定于坐標原點，而行星的位置由柱坐標(r,θ,z)給出。在太陽引起的引力場中，行星的動力學方程可以寫為

但我們并不打算直接求解這個矢量微分方程，而是考慮這個體系的守恒律。首先我們有角動量守恒，這一點可以從有心力場引起的力矩上看出：

這導致L?= mr×v是一個常數。因此速度矢量v和位置矢量r兩者總在同一個平面上，我們正選擇這個平面作為z=0的坐標平面。有了這個性質，我們立即可以寫出普遍情況下速度應當擁有的形式

其中上方標有一點的r和θ分別表示它們對時間的導數，即dr/dt和dθ/dt。注意速度的z方向分量總為0。接下來要考察的守恒律是能量守恒，這一點可以通過在動力學方程兩邊點乘位置矢量隨時間的微小變化dr看到：

這里我們使用了作為保守力場的引力滿足的條件：

而在過去的討論中我們已經證明了對于坐標的函數，總有df(r) = ?f?dr。因此我們能夠寫出

將速度表達式帶入上面兩個守恒律中，我們得到如下的關于r,θ作為時間t的函數的微分方程組：

引入a = L/m，我們從中消去dθ/dt，得到只含r,dr/dt的方程為

如果我們只關心軌道方程，即作為θ的函數的r(θ)，那么我們需要使用鏈式法則來將dr/dt重寫為作為r關于θ的導數r’，事實上有

將之帶入到前面的方程，我們就有了關于r作為θ函數的微分方程：

或者通過變量替換y = 1/r來將方程重寫為

一個非線性方程通常情況下是難以求解的。在這里，我們可以通過猜測解的形式的待定系數法來進行求解。方程中同時出現y和y’的同次項啟發我們引入三角函數來試探，不妨設解擁有形式

注意我們總是可以通過重新規定極軸來消除cos(θ+θ0)中的偏置，從而我們簡單令θ0=0。將此形式帶入方程，并整理各個系數，我們得到

這個方程若對任意θ成立，那只能是cosθ前面系數為0。因此我們給出了未知系數A,B的值為

或者寫出最終的軌道方程

這是一條圓錐曲線的方程。同時由于在θ=0時，r(θ)取得其最小值，因此事實上我們是將極軸取為圓錐曲線的對稱軸，極點是最靠近圓錐曲線的焦點。

行星軌道的討論

有了行星軌道的一般方程，我們的知識儲備就允許我們討論行星軌道的幾何性質。一般地，圓錐曲線的行為取決于A和B的相對大小，有如下三種可能性：

A < B，此時分母A cosθ+B總是大于零的，這使得θ在任何值時r(θ)都有限，對應于橢圓軌道。

A = B，此時在θ = π時分母為0。定性地，這意味著在θ靠近π時r將變得任意大，這對應著拋物線軌道。

A > B，此時在θ < π時分母就可能為0，其臨界值由A,B確定，代表了漸近線的方向。從而對應著雙曲線軌道。

對于雙曲線軌道，我們能夠給出漸近線對應的角方向。如果令其補角為β，則有

注意2β事實上就是雙曲線的兩條漸近線在雙曲線這一側所成的角度。

引力彈弓

有了天體運動的雙曲線軌道的相關知識，張朝陽開始帶領網友討論引力彈弓的問題。可能會有人對引力彈弓過程感到困惑不解：明明雙曲線運動有著能量守恒的要求，入射和出射速度大小總是一樣的，為什么可以用來加速呢？其中的奧妙正在于目標行星自身的速度。在行星參考系中探測器，如旅行者1號，受行星引力做雙曲線運動，而在太陽參考系中，其離開行星的速度和接近行星的速度完全可以不一樣。而且這個過程也并未違反能量守恒定律：行星自身的機械能是加速的來源，只是因為二者質量差距過于懸殊，提取出的能量相對行星自身是很小的。

張朝陽選擇旅行者1號在借助木星引力加速的過程來分析引力彈弓效應。在太陽參考系中，令旅行者1號在該過程的初始速度為v1，木星自身速度為vp，完成引力彈弓效應后旅行者1號的速度為v2。那么在木星的平動參考系中：由于過程發生的時間相比木星做圓周運動的時間是很短的，且由于極懸殊的質量差距，我們可以近似認為木星在整個過程里做勻速直線運動。那么相對木星對應的兩個速度應為(使用帶撇的量表示)

在木星參考系中的探測器-木星體系機械能守恒給出

我們關心何種情況下v2的大小大于v1的大小，從而實現了加速過程。有

我們可以將關于vp的一次項系數都整理為帶撇的矢量，及相對木星的速度，從而有

這個結果對應著什么呢?我們知道v2′,v1’是一對大小相等、方向平行于雙曲線軌道漸近線的矢量，從而(v2′-v1′)矢量正是雙曲線的對稱軸，從其頂點指向其焦點的方向。這意味著一旦這個方向和行星自身速度矢量vp所夾角δ為銳角，則由于

最終有v2^2>v1^2實現加速過程。幾何上，如果讓v1’矢量和vp矢量所夾角為α，前面計算雙曲線軌道中的參數β=arccos(B/A)，那么角δ正是

同樣的，如果δ為一鈍角，引力彈弓過程自然也可以被用于減速。按照幾何關系，我們有

從而這給我們帶來最終的表達式

實際航天計劃里，通過合理選擇β為一個較小的角度，通過|v2′-v1’|得到了一個較大的貢獻。這樣能夠令航天器獲取到相當大的速度提升，進而實現一個高效的加速過程。在實際的旅行者1號計劃里邊，分析NASA的數據可以得到α=113.66°,β=40.89°，木星速度大小為|vp| ≈ 13 km/s，旅行者1號的入射速度大小為|v1| ≈ 13.2 km/s，相對速度大小近似為|v1’| ≈ 11 km/s，有興趣的讀者可以使用今天的知識來推測旅行者1號離開木星時候的速度。這里給出NASA提供的官方數據，其值接近于|v2| ≈ 23.6 km/s。計算結果可能略高于這個數值，原因在于以上計算忽略了克服太陽引力的損失和速度數據并未取在無窮遠而導致能量偏大。

(圖中橫軸為到太陽的距離，縱軸代表速度。藍線為旅行者1號相對太陽的速度大小和同太陽的距離之間的關系，紅線則為對應距離下對太陽的逃逸速度。可以看到旅行者1號在5個天文單位和10個天文單位附近分別借助了木星與土星的引力彈弓來加速。)

據了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點”短視頻。此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。